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数学笔记 - 等价无穷小 -「Life - Math」

考研中常用的一些等价无穷小

\[\begin{align*} \sin x &\sim x \\ \arcsin x &\sim x \\ \tan x &\sim x \\ \arctan x &\sim x \\ e^x-1 &\sim x \\ \ln(1+x) &\sim x \\ \s...

数学笔记 - 求导公式 -「Life - Math」

考研中常用的一些求导公式

\[\begin{align*} ( c )^\prime &= 0 \\ ( x^a )^\prime &= ax^{a - 1} \\ ( \log_a x )^\prime &= \dfrac{1}{x \ln a} \\ ( \ln x )^\prime &= \dfrac{1}{x} \\ ( a...

数学笔记 - 泰勒公式 -「Life - Math」

考研中的泰勒公式

公式 \[f_{( x )} = f_{( x_0 )} + f^\prime_{( x_0 )} ( x - x_0 ) + \dfrac{f^{\prime \prime}_{( x_0 )}}{2!} ( x - x_0 )^2 + \dots + \dfrac{f_{( x_0 )}^{( n )}}{n!} ( x - x_0 )^n + R_n ( x )\] 标准公式...

数学笔记 - 积分公式 -「Life - Math」

考研常用的一些积分公式

基本积分公式 \[\begin{align*} & \int x^k dx = \dfrac{1}{k + 1} x^{k + 1} + C \\ & \int \dfrac{1}{x} dx = \ln \lvert x \rvert + C \\ & \int a^x dx = \dfrac{1}{\ln a} a^x + C \;...

数学笔记 - 微分算子法 -「Life - Math」

微分算子法主要用于求微分方程的特解

【公式】 \[\begin{align*} &设 \; D = \dfrac{d}{dx}, \; 则 \; y^\prime = D y, \; y^{\prime \prime} = D^2 y \\ &( 1 ) \begin{cases} F_{( D )} e^{kx} = F_{( k )} e^{kx} \\ \d...

数学笔记 - 不等式 -「Life - Math」

柯西不等式 普通形式 简记:平方和的乘积 ≥ 乘积和的平方 \[( a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 ) ( b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2 ) \geqslant ( a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n )^2\] \[\sum_{i = 1}^n a_i^2 \sum_{i =...

数学笔记 - 中值定理 -「Life - Math」

罗尔定理 f(x) 在 [a,b] 内连续,在 (a,b) 内可导 \[f_{( a )} = f_{( b )} => f_{( \xi )} = 0\] 拉格朗日中值定理 f(x) 在 [a,b] 内连续,在 (a,b) 内可导 \[f_{( b )} - f_{( a )} = f_{( \xi )} ( b - a )\] 柯西中值定理 f(...

数学笔记 - 伽玛函数 -「Life - Math」

积分形式 \[\begin{cases} \Gamma_{( x + 1 )} = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt \\ \\ \Gamma_{( x )} = \int_0^{+\infty} t^{x - 1} e^{-t} dt \end{cases}\] 【注】 考研中常见 t = x^2 , 即 \[\Gamma_{( u ...

数学笔记 - 法线 -「Life - Math」

切线法线 切线斜率 * 法线斜率 = -1 \[\begin{cases} f_{( x_0 )}^\prime * k = -1 \\ \\ y - y_0 = k ( x - x_0 ) \end{cases}\] 曲面法线 \[设曲线方程: z = f_{( x, y )} = 0\] 点(x0, y0)处的法线 \[\dfrac{x - x_0...

数学笔记 - 距离公式 -「Life - Math」

点到点 \[\begin{cases} 点A: ( x_0, y_0 ) \\ \\ 点B: ( x_1, y_1 ) \\ \\ \mid AB \mid = \sqrt{( x_1 - x_0 )^2 + ( y_1 - y_0 )^2} \end{cases}\] 点到线 \[\begin{cases} 点A: ( x_0, x_1 ) \\ \\ ...