考研数学笔记 - 泰勒公式

考研中的泰勒公式

Posted by Oscaner on September 14, 2018

公式

\[f_{( x )} = f_{( x_0 )} + f^\prime_{( x_0 )} ( x - x_0 ) + \dfrac{f^{\prime \prime}_{( x_0 )}}{2!} ( x - x_0 )^2 + \dots + \dfrac{f_{( x_0 )}^{( n )}}{n!} ( x - x_0 )^n + R_n ( x )\]
  • 标准公式 — 主要用于计算级数
\[f_{( x )} = \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{f^{( n )}_{( x_0 )}}{n!} ( x - x_0 )^n\]
  • 带余项的公式 — 主要用于证明题和计算n阶导数
\[f_{( x )} = \sum_{k = 0}^{n} \dfrac{f_{( x_0 )}^{( k )}}{k!} ( x - x_0 )^k + R_n ( x )\]

Rn(x)余项

  • 拉氏余项 — 主要用于证明题
\[R_n ( x ) = \dfrac{f^{( n + 1 )}_{( \xi )}}{( n + 1 )!} ( x - x_0 )^{n + 1}\]
  • 佩氏余项 — 主要用于极限计算题
\[R_n ( x ) = \mathrm{o} [ ( x - x_0 )^n ]\]