考研数学笔记 - 微分算子法

微分算子法主要用于求微分方程的特解

Posted by Oscaner on September 22, 2018

【公式】

\[\begin{align*} &设 \; D = \dfrac{d}{dx}, \; 则 \; y^\prime = D y, \; y^{\prime \prime} = D^2 y \\ &( 1 ) \begin{cases} F_{( D )} e^{kx} = F_{( k )} e^{kx} \\ \dfrac{1}{F_{( D )}} e^{kx} = \dfrac{1}{F_{( k )}} e^{kx} \end{cases} \\ &( 2 ) \begin{cases} F_{( D^2 )} \sin ax = F_{( -a^2 )} \sin ax \\ \dfrac{1}{F_{( D^2 )}} \sin ax = \dfrac{1}{F_{( -a^2 )}} \sin ax \end{cases} \\ &( 3 ) \begin{cases} F_{( D )} e^{kx} f_{( x )} = e^{kx} F_{( D + k )} f_{( x )} \\ \dfrac{1}{F_{( D )}} e^{kx} f_{( x )} = e^{kx} \dfrac{1}{F_{( D + k )}} f_{( x )} \end{cases} \\ &( 4 ) \begin{cases} F_{( D )} f_{( x )} = F_{1 ( D )} F_{2 ( D )} f_{( x )} = F_{2 ( D )} F_{1 ( x )} f_{( x )} \\ \dfrac{1}{F_{( D )}} f_{( x )} = \dfrac{1}{F_{1 ( D )} F_{2 ( D )}} f_{( x )} = \dfrac{1}{F_{2 ( D )} F_{1 ( x )}} f_{( x )} \end{cases} \end{align*}\]

【注】

  1. 分母均不为0
  2. 算子式和方程式没有乘法交换律,算子式和算子式有乘法交换律
  3. 当(1)式的分母为0时,可用(3)式,此时f(x)=1
  4. (4)式中 F(D) = F1(D) * F2(D)

【题型】

型一

\[F_{( D )} y = f_{( x )} \; => \; y^* = \dfrac{1}{F_{( D )}} f_{( x )}\]

型二

\[F_{( D )} y = e^{\lambda x} f_{( x )} \; => \; y^* = \dfrac{1}{F_{( D )}} e^{\lambda x} f_{( x )} = \begin{cases} \dfrac{1}{F_{( \lambda )}} e^{\lambda x} f_{( x )} & , \; F_{( \lambda )} \neq 0 \\ e^{\lambda x} \dfrac{1}{F_{( D + \lambda )}} f_{( x )} & , \; F_{( \lambda )} = 0 \end{cases}\]

型三

\[\begin{aligned} &( 1 ) \begin{cases} F_{( D )} y = e^{\lambda x} f_{( x )} \sin ax \\ F_{( D )} y = e^{\lambda x} f_{( x )} \cos ax \end{cases} \\ &( 2 ) 利用欧拉公式: \begin{cases} e^{iax} = \cos ax + i \sin ax \\ i = \sqrt{-1} \; 或 \; i^2 = -1 \end{cases} \\ &( 3 ) 令 \; F_{( D )} y = e^{( \lambda + ia ) x} f_{( x )} \; => \; y = e^{( \lambda + ia ) x} \dfrac{1}{F_{( D + \lambda + ia )}} f_{( x )} \\ &( 4 ) 算出 \; y \; 后将欧拉公式回代,可得到带有(虚部)和(实部)的解 \\ &( 5 ) \begin{cases} F_{( D )} y = e^{\lambda x} f_{( x )} \sin ax => 取(虚部)为特解 \; y^* \\ F_{( D )} y = e^{\lambda x} f_{( x )} \cos ax => 取(实部)为特解 \; y^* \end{cases} \end{aligned}\]

【注】

  1. λ可以是0
  2. 考研中出现的微分方程,一般就是这三种题型

例题

型一、型二

differential-operators.jpg