考研数学笔记 - 不等式

Posted by Oscaner on October 1, 2018

柯西不等式

普通形式

  • 简记:平方和的乘积 ≥ 乘积和的平方
\[( a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 ) ( b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2 ) \geqslant ( a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n )^2\] \[\sum_{i = 1}^n a_i^2 \sum_{i = 1}^n b_i^2 \geqslant ( \sum_{i = 1}^n a_i b_i )^2\]

积分形式

  • 又称作 施瓦茨不等式
  • 定积分从某种意义上来说,是更高级的求和(或者称之为面积求和)
  • 明显与柯西不等式的形式相似
  • 简记:平方和的乘积 ≥ 乘积和的平方
\[\int_{a}^b f_{( x )}^2 \, dx \int_{a}^b g_{( x )}^2 \, dx \geqslant ( \int_{a}^b f_{( x )} g_{( x )} \, dx )^2\]

杨不等式

普通形式

\[\begin{cases} \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \\ \\ p > 0, q > 0 \end{cases} => a^{\frac{1}{p}} b^{\frac{1}{q}} \leqslant \dfrac{a}{p} + \dfrac{b}{q}\]

积分形式

\[\begin{cases} a > 0, b > 0 \\ x = \phi_{( y )}, y = \varphi_{( x )} \\ \varphi_{( 0 )} = 0 \\ y 在 [ 0, a ] 上单调递增 \end{cases} => \int_0^a \varphi_{( x )} \, dx + \int_0^b \phi_{( y )} \, dy \geqslant ab\]