数学笔记 - 伽玛函数

积分形式

\[\begin{cases} \Gamma_{( x + 1 )} = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t} dt \\ \\ \Gamma_{( x )} = \int_0^{+\infty} t^{x - 1} e^{-t} dt \end{cases}\]

【注】

• 考研中常见 t = x^2 , 即

\[\Gamma_{( u + 1 )} = \int_0^{+\infty} x^{2u} e^{- x^2} d_{( x^2 )} = 2 \int_0^{+\infty} x^{2u + 1} e^{- x^2} dx\]

递归公式

\[\Gamma_{( x )} = x \Gamma_{( x - 1 )}\]

• 从而我们可以得到

\[\Gamma_{( x )} = x!\]

特殊值

\[\Gamma_{( \frac{1}{2} )} = \sqrt{\pi}\]

• 例子

\[\Gamma_{( \frac{3}{2} )} = \Gamma_{( \frac{1}{2} + 1 )} = \dfrac{1}{2} \Gamma_{( \frac{1}{2} )} = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\]

【注】在概率正态分布中经常要用到伽玛函数，应用形式基本是以上几种。

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