基本积分公式
\[\begin{align*} & \int x^k dx = \dfrac{1}{k + 1} x^{k + 1} + C \\ & \int \dfrac{1}{x} dx = \ln \lvert x \rvert + C \\ & \int a^x dx = \dfrac{1}{\ln a} a^x + C \; ( a > 0 且 a \neq 1 ) \\ & \int e^x dx = e^x + C \\ \\ & \int \sin x dx = -\cos x + C \\ & \int \cos x dx = \sin x + C \\ & \int \tan x dx = -\ln \lvert \cos x \rvert + C \\ & \int \cot x dx = \ln \lvert \sin x \rvert + C \\ & \int \sec x dx = \ln \lvert \sec x + \tan x \rvert + C \\ & \int \csc x dx = \ln \lvert \csc x - \cot x \rvert + C \\ \\ & \int \sec^2 x dx = \tan x + C \\ & \int \csc^2 x dx = -\cot x + C \\ & \int \sec x \tan x dx = \int \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \sec x + C \\ & \int \csc x \cot x dx = \int \dfrac{\cos x}{\sin^2 x} = -\csc x + C \\ \\ & \int \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin x + C \\ & \int \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \dfrac{x}{a} + C \\ & \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx = \ln \lvert x + \sqrt{x^2 + a^2} \rvert + C \\ & \int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \ln \lvert x + \sqrt{x^2 - a^2} \rvert + C \\ \\ & \int \dfrac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x + C \\ & \int \dfrac{1}{a^2 + x^2} dx = \dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{x}{a} + C \\ \\ & \int \dfrac{1}{a^2 - x^2} dx = \dfrac{1}{2a} \ln \lvert \dfrac{a + x}{a - x} \rvert + C \\ & \int \dfrac{1}{x^2 - a^2} dx = \dfrac{1}{2a} \ln \lvert \dfrac{x - a}{x + a} \rvert + C \\ \\ & \int \sqrt{a^2 - x^2} dx = \dfrac{a^2}{2} \arcsin \dfrac{x}{a} + \dfrac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + C \\ \\ & \begin{cases} I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx \\ I_n = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2} \\ I_0 = \dfrac{\pi}{2} \; , \; I_1 = 1 & \end{cases} \end{align*}\]积分应用
长度公式
Rt坐标系
\[\begin{cases} dl = \sqrt{( dx )^2 + ( dy )^2} = \sqrt{1 + ( y^\prime )^2} dx \\ \\ s = \int_a^b dl = \int_a^b \sqrt{1 + ( y^\prime )^2} dx \end{cases}\]极坐标系
\[\begin{cases} dl = \sqrt{( r d\theta )^2 + ( dr )^2} = \sqrt{r^2 + ( r^\prime )^2} d\theta \\ \\ s = \int_{\alpha}^{\beta} dl = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + ( r^\prime )^2} d\theta \end{cases}\]面积公式
Rt坐标系
-
不旋转
略
-
绕y轴旋转
少见，原理同绕x轴旋转一致，视具体情况自推
-
绕x轴旋转
极坐标系
\[\begin{cases} ds = \pi r_2^2 * \dfrac{d\theta}{2 \pi} - \pi r_1^2 * \dfrac{d\theta}{2 \pi} = \dfrac{1}{2} ( r_2^2 - r_1^2 ) d\theta \\ \\ s = \int_{\alpha}^{\beta} ds = \int_{\alpha}^{\beta} \dfrac{1}{2} ( r_2^2 - r_1^2 ) d\theta \end{cases}\]体积公式
Rt坐标系
- 绕x轴旋转
- 绕y轴旋转
【注】
在绕x轴旋转的时候，计算体积时宽用的是
dx，而计算长度和面积时宽用的是√[1+（y')^2] dx.虽然
dx和√[1+（y')^2] dx这两者之间的差距微乎其微，但是在计算长度和面积的时候，这一点点的长度差是不能忽视的。
而在计算体积的时候，相对体积来说，
dx和√[1+（y')^2] dx的长度差可以忽略不计。
其他公式
Rt坐标和极坐标之间的转换
\[\begin{cases} x = r \cos \theta \\ \\ y = r \sin \theta \end{cases}\]椭圆弧的重心坐标公式
均匀密度情况下，重心和形心重合
\[\begin{cases} x^\prime = \dfrac{\iint_D x d \sigma}{\iint_D d \sigma} \\ \\ y^\prime = \dfrac{\iint_D y d \sigma}{\iint_D d \sigma} \end{cases}\]
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Oscaner
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