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数学笔记 - 中值定理

Posted by Oscaner on October 1, 2018

罗尔定理

f(x) 在 [a,b] 内连续，在 (a,b) 内可导

\[f_{( a )} = f_{( b )} => f_{( \xi )} = 0\]

拉格朗日中值定理

f(x) 在 [a,b] 内连续，在 (a,b) 内可导

\[f_{( b )} - f_{( a )} = f_{( \xi )} ( b - a )\]

柯西中值定理

f(x) 在 [a,b] 内连续，在 (a,b) 内可导
g(x) 在 [a,b] 内连续，在 (a,b) 内可导
分母不能为0

\[\dfrac{f_{( b )} - f_{( a )}}{g_{( b )} - g_{( a )}} = \dfrac{f_{( \xi )}^\prime}{g_{( \xi )}^\prime}\]

积分中值定理

f(x) 在 [a,b] 内连续
g(x) > 0

\[\int_{a}^b f_{( x )} g_{( x )} \, dx = f_{( \xi )} \int_{a}^b g_{( x )} \, dx\]

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