数学笔记 - 泰勒公式

公式

\[f_{( x )} = f_{( x_0 )} + f^\prime_{( x_0 )} ( x - x_0 ) + \dfrac{f^{\prime \prime}_{( x_0 )}}{2!} ( x - x_0 )^2 + \dots + \dfrac{f_{( x_0 )}^{( n )}}{n!} ( x - x_0 )^n + R_n ( x )\]

• 标准公式 — 主要用于计算级数

\[f_{( x )} = \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{f^{( n )}_{( x_0 )}}{n!} ( x - x_0 )^n\]

• 带余项的公式 — 主要用于证明题和计算n阶导数

\[f_{( x )} = \sum_{k = 0}^{n} \dfrac{f_{( x_0 )}^{( k )}}{k!} ( x - x_0 )^k + R_n ( x )\]

Rn(x)余项

• 拉氏余项 — 主要用于证明题

\[R_n ( x ) = \dfrac{f^{( n + 1 )}_{( \xi )}}{( n + 1 )!} ( x - x_0 )^{n + 1}\]

• 佩氏余项 — 主要用于极限计算题

\[R_n ( x ) = \mathrm{o} [ ( x - x_0 )^n ]\]

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